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Chapitres

POLYNOMES DU SECOND DEGRE

I- POLYNOMES, GENERALITE

Mais qu'est-ce cette chose si mystérieuse appelée polynôme??? Je vais don commencer par répondre à cette question qui doit vous traumatiser... non?

bah, en fait, ce que en math on appelle polynôme correspond en gros à une fonction que l'on va appelé P (bah oui il faut quand même changer un peu le nom!!!). On dit que cette fonction est une fonction polynôme quand on a:

P(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+...+ a₁x+a₀

Si l'on a:
a_n= a_n-1= ... =a₁= a₀= 0, on obtient un polynôme que l'on dit nul car quelque soit la valeur de x, on a P(x) = 0

Il existe une seule forme réduite de chaque polynôme, on parle de forme réduite quand le polynôme est simplifié au maximum:
Cette forme vous la connaissez tous, c'est la forme:

P(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+...+ a₁x+a₀    avec a_n différent de 0

Un peu de vocabulaire:
- On dit que a₀,a ₁, ... ,a_n sont les coefficients du polynôme et l'entier n est son degré.
-Le terme "a_ixⁱ" est le terme de degré i du polynôme.

égalité de polynômes
Deux polynômes différents du polynôme nul sont égaux si, et seulement si, ils ont le même degré et les coefficients des termes du même degré sont identiques

Tout comme avec des nombres, on peut faire des opération avec des polynômes

opération sur les polynômes
- La somme et le produit de deux polynômes sont des polynômes. - De plus si P a pour degré n et Q a pour degré p, alors le produit PxQ aura pour degré n+p

La racine

On appelle racine d'un polynôme P tout réel ß tel que p(ß)=0

La conséquence directe de cette définition est qu'une racine de P est une solution de l'équation P(x)=0. Et sinon encore plus pratique, si ß est racine de P , alors p et factorisable par x - ß, c'est à dire qu'il existe un polynôme Q tel que:

P(x) = (x - ß) × P(x) = (x - ß) × Q(x) Q(x)

un petit conseil entre nous retenez bien cette propriété , elle vous sera sans doute souvent utile!!!

II- Polynôme du second degré

c'est un polynôme de la forme ax²+bx+c, bon jusque là ça va encore je pense?, j'entend vous OUUUI donc je continue, voilà à partire de là, on va faire intervenir une nouvelle valeur que l'on va appelé le discriminant ou delta pour les amis, c'est au choix.... pour la suite je vais l'appeler "d"car c'est plus facile à taper...

ne jamais oublier:             d = b² - 4 ac

bon voilà un tableau qui résume tout ce qu'il faut retenir sur delta:

d = b² - 4 ac	d < 0	d = 0	d > 0
racines de ax²+bx+c	pas de racine	une racine "double" x0= - b / 2a	deux racines distinctes x1 = (- b -racine (d)) / 2a x2 = (-b + racine(d)) / 2a
factorisation de ax²+bx+c	pas de facteur du premier degré	a (x - x0)²	a ( x - x1) (x - x2)

Pour résumer lorsque maintenant, on vous demande de résoudre une équation du second degré , il ne vous reste plus qu'a calculer delta et a factoriser en fonction du discriminant.

III- Représentation graphique et variations

Propriété
La courbe d'équation y = ax²+bx+c dans le repère (O;i;j) est un parabole. Son sommet S a pour abscisse ß = - b / 2a et son équation dans le repère (S;i;j) est Y = aX² Suivant le signe de a, on obtient le tableau des variations de la fonction P:x —>ax²+bx+c » a > 0 » a < 0

programmation pour T.I. ou Casio

Commentaires	Sur T.I.	Sur Casio
saisie des coefficient a, b et c effacer l'écran calcul et stockage dans S de l'abscisse du sommet stockage du trinôme dans la fonction Y1 calcul de l'ordonnée du sommet, puis stockage dans T affichage d'un commentaire puis des coordonnées du sommet calcul et stockage dans D du discriminant affichage de delta test le signe de delta si delta est positif afficher un commentaire calcul des solutions U et V affichage de U et V si delta est nul afficher le commentaire valeur de la solution S si delta est négatif afficher le commentaire	PROGRAM:TRINOME Prompt A,B,C ClrHome -B/(2A)->S "A*X^2+b*x+c"->Y1 Y1(S)->T Disp "SOMMET EN (S,T)", S>Frac,T>Frac Pause B²–4AxC -> D Disp "DELTA",D If D > 0 Then Disp"2 SOLUTIONS : U,V" (-B – -/¯(D)) / (2A) ->U (-B + -/¯(D)) / (2A) ->V Disp U>Frac, V>Frac Pause Else If D=0 Then Disp"1 SOLUTION: S" Disp S >Frac Else Disp "PAS DE SOLUTION" End	TRINOME "A"?->A:"B"?->B:"C"->C ClrText -B÷(2A)->S "A*X^2+b*x+c"->Y1 AxS²+BxS+C -> T "SOMMET EN (S,T)":S T B²–4AxC -> D "DELTA":D If D > 0 Then "2 SOLUTIONS" (-B – -/¯(D)) ÷ (2A) ->U (-B + -/¯(D)) ÷ (2A) ->V "U=":U "V=":V Else If D=0 Then "1 SOLUTION" "S=":S Else "PAS DE SOLUTION"

Je vous promet que ce petit programme vous fait gagner un temps précieux dans un devoir pour peu que l'usage de la calculatrice soit autorisée et que vous preniez le temps de le recopier , je dois reconnaître que c'est vite énervant comme travail