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FONCTIONS DERIVEES

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Bon, je ne vais pas commencer par vous couler, par contre je recommande fortement de maîtriser ou en tout cas d'avoir lu la partie précédente sur les nombres dérivés.

I- Fonctions dérivée d'une fonction numérique

On repart d'une fonction f dérivable en tout réel x d'un intervalle I de son ensemble de définition Df.
On appelle la fonction dérivée f' de f est la fonction qui à tout réel x de I, associe le nombre dérivé de f en x.
On la note f' : x–> f'(x)

Dérivées des fonctions de références

Df x –> f(x) Df' x –> f'(x)
R x –> k
(k réel quelconque)		 R x –> 0
R x –> ax + b
(a et b sont
deux réels quelconques)		 R x –> a
R x –> x² R x –> 2x
]-∞; 0[
ou ]0; +∞[		 x –> 1/x ]-∞; 0[
ou ]0; +∞[		 x –> -1/x²
[0; +∞[ x –> -/¯x ]0; +∞[ x –> 1 / (2-¯x)

II- Dérivation et opérarions

Somme et produit de deux fonctions dérivables

Si u et v sont 2 fonction dérivbles sur un même intervalle I, alors les fonctions dîtes somme u + v et produit uv sont dérivables sur I et, pour tout x de I:

  • (u + v)' = u'(x) + v'(x)
  • (uv)'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)

Là il n'y a rien a comprendre, ce n'est que du par coeur, de la formule bête et méchante comme j'aime à le dire

Conséquences
  1. Soit une fonction u dérivable sur un intervalle I et un réel k quelconque.Pour tout réel xde I, on a
    (ku)' (x) = k x u'(x).
  2. La fonction définie sur R par x -> xn, où n est un entier naturel non nul, admet pour fonction dérivée la fonction x-> nxn-1.
  3. Toute fonction polynome est dérivable sur R, comme somme de fonctions du type x ->akxk, où ak est un réel.


Preuve:
  1. Il suffit de se souvenir du théorème qui dit que si v(x) = k, alors, v'(x) = 0
  2. soit f(x) = x³; u(x)=x et v(x) = x², on a f(x) = u(x) v(x), d'apres ce que l'on a vu tout à l'heure, on a
    f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = 1 x x² + x x 2x = 3x²
  3. Si l'on a P(x) = 2x³ - 5x² + 3, alors P'(x)= 2 × (3x²) - 5 × (2x) = 6x² - 10x


Par contre, pour la dérivée de la fonction inverse, je vais vous demander de retenir la formule sans pouvoir vous fournir d'explications, pour la bonne et simple raison que je n'en connais pas moi même!Les profs ne sont pas omniscients non plus

f est dérivable sur I et, pour tout x de I, on a
(1 / v)' x = - ( (v'(x) / (v(x))² .

Dérivation du quotient de deux fonctions
Soit u et v deux fontions dérivables sur un intervalle I, telles que v ne s'annule pas sur i. Alors:
u / v est dérivable sur I etn pour tout réel x de I, (u / v)' (x) = (u'(x) v(x) - u(x) v'(x) ) / (v(x))² .

Attention à l'ordre des termes au numérateur!!! Le signe de la dérivée est en effet extremment important comme nous allons le voir par la suite.

Dérivation de f :x ->u(ax + b)
Soit x -> ax + b, une fonction affine appliquant l'intervalle I sur J et u une fonction dérivable sur J, alors la fonction f :x ->u(ax + b) est dérivable sur Iet:


Dérivation des fonctions trigonométriques:
Les deux fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R et on pour fonction dérivée, respectivement la fonction cosinus et la fonction sinus.
f: x -> cos x, alors f'(x) = sin x
f: x -> sin x, alors f'(x) = cos x.

III- Variation et extremmum

Nous avons vu comment on pouvait déterminer les variations d'une fonction f par une série de calcul du type f(a) - f(b) etc... Maintenant loin de nous toutes ces lourdeurs, nous allons apprendre à nous servir de la fonction dérivée pour déterminer les variations d'une fonction.
Pour ce la je vais vous demander de retenir par coeur (il n'y a pas encore d'autre méthodes (dsl) les formules si dessous

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I.

Extremum et fonction dérivée
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I .
Si f présente un extremum local en a,réel de I, alors f'(a) = 0.

ATTENTION, la réciproque de cette propriété est fausse: 4 x³ s'annule en 0, pourtant la fonction cube n'a pas d'extremum.

Extremum local: conditions
Soit f une fonction dérivble sur un intervalle ouvert I et a un réel de I. Si la fonction dérivée s'annule en a, et change de signe en a, alors f(a) est un extremum local de f sur l'intervalle I.


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