Chapitres

Bilan

Equation cartésienne de droite

Dans un repère (O,i;j), une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0, où a et b sont deux réels dont l'un au moins et non nuls, caractérise un droite D du plan.

Le vecteur u ( -b;a) est alors le vecteur directeur de la doite D.

Equation cartésienne d'un cercle

ddans un repère orthonormé (O,i;j), un cercle du plan admet une équation cartésienne de la forme:

Dans l'espace

L'espace est rapporté au repère orthonormal (O,i;j;k):

• La sphère de centre O et de rayon R admet pour équation cartésiene : x² + y² + z² = R²
• un plan parallèle au plan (xOy) a pour équation cartésienne z = α, où α est un réel;
• le cylindre de rayon r, admettant l'axe des cotes pour axe de révolution, a pour équation cartésienne x² + y² = R²;
• Un cone de révolution de sommet O, admettant l'axe des cotes pour axe de révolution, admet pour équation cartésienne x² + y² - βz² = 0, où β > 0.

Enoncés

I° Dans la plan, rapporté au repère orthonormal (O,i;j), on considère les points :

E(2 ; 0), F(-1 ; 1) et G(3 ; 4)

Calculez l'aire du triangle EFG en determinant la hauteur issue de G.

Pour analyser en deux mots le sujet, vous avez tous tout de suite repéré que la calcul de l'aire du triangle est d'abord le calcul de la longueur de l'un de ses cotés et de la hauteur relative à ce coté, ici celle qui est issue de G.... Mais j'en ai déjà trop dis, allez à vos stylos...

Méthodologie

Pour determiner une équation cartésienne d'une droite d d'un plan:

1. Si on connait un vecteur directeur de la droite u(-α ; β) et un point A de la droite d:
   
   a) on peut écrire que la droite a une équation de la forme ax + by + c = 0 , avec a = β , b = -α, et on calcule c pour que les coordonées de a vérifient cette équation;pas trop dur comme méthode
   
   b)on prend un point M(x ; y) et on traduit analyitquement la colinéarités des vecteurs u et AM en écrivant l'égalité suivantes:x.y' = y.x'.


2. Si on connais un vecteur normal n(α ; β) à la droite d et un point A de d, on commence par s'assurer que le repère est orthonormal puis on utilise l'une des méthodes suivantes:
   
   a) on peut écrire que la droite d a une équation de la forme ax + by +c = 0 avec a = α et b = β, et on calcule c en fonction des coordonnées de a qui doivent vérifier cette équation;
   
   b)on prend un point M (x ; y)) et on traduit analytiquement l'orthogonalité des vecteurs n et AM, pensez aux produits scalaires... trois ...deux...un...GO GO GO...

Corrigé

Voilà l'heure de la correction, veuillez poser vos stylos et ouvrir grand vos yeux!...

Avec la méthode 2) b), on détermine une équation de la hauteur d issue de G:


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